🚧 从零开始的高等数学（三）：微分中值定理与导数的应用

本章将应用导数来研究函数以及曲线的某些特性，并利用这些知识解决一些问题。

微分中值定理

【费马引理】在邻域有定义, 且在处可导. 如果(或) , 则. 即该领域的极值.

驻点：导数值为0的点

罗尔中值定理

若满足

1. 在连续
2. 在可导

则使得

拉格朗日中值定理

若满足

1. 在连续
2. 在可导

则使得

柯西中值定理

若和满足：

1. 连续
2. (a,b)可导
3. 使得

则使得

洛必达法则

解决

【定理一】

当满足:

1. 时,
2. 在的去心邻域内和存在, 且
3. 存在或者为

则

【定理二】

当满足:

1. 时,
2. 在的去心邻域内和存在, 且
3. 存在或者为

则

泰勒公式

【泰勒中值定理一】

在处具有阶导数, 的一个邻域, 使得:

称为拉格朗日余项

当时,

当时, 即马克劳林公式.

• 展成马克劳林